Elipse y Hiperbola

Circunferencia y parabola

Parábola.

Parábola 

Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de una recta fija llamada directriz, y de un punto fijo llamado foco.

Si llamamos r a la directriz y F al foco, un punto P de la parábola verifica que:

Los elementos de la hipérbola son:

·        El vértice de la parábola O que corresponde al punto medio del segmento que une el foco con la directriz de manera perpendicular. El vértice pertenece a la parábola.

·        El eje de la parábola que es la recta que pasa por el foco y el centro. De esta manera, el eje corta de manera perpendicular a la directriz.

·        El parámetro p, cuyo valor absoluto es la distancia del foco a la directriz.

Gráficamente estos elementos pueden verse en la siguiente figura:

La ecuación de una parábola cuyo centro es el origen y su eje sea paralelo al eje OY (directriz paralela al eje OX ) viene dada por:

Si el vértice no es el origen de coordenadas  (x₀,y₀)  pero el eje de la parábola sigue siendo paralelo al eje OY, la ecuación corresponde a:

El signo de p influye en el sentido de la parábola, es decir:

·        Si p > 0, entonces el vértice está abajo y las ramas de las parábola crecen hacia arriba (igual que en la gráfica anterior).

·        Si p < 0, entonces el vértice está arriba y las ramas de las parábola disminuyen hacia abajo.

Hipérbole. Parábola.

Hipérbola 

Es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que el valor absoluto de la diferencia de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es una cantidad constante.

Si llamamos F y F’ a los focos, un punto P de la hipérbola verifica que:

Los elementos de la hipérbola son:

·        El centro O que corresponde al punto medio de los dos focos.

·        El eje focal es la recta que pasa por los dos focos. Este eje corta a la hipérbola en dos puntos A y A’ cuya distancia al centro O es  a = cte/2.

·        El eje imaginario es la recta que pasa por el centro O y es perpendicular al eje focal. Sobre este eje esta el punto B cuya distancia al centro O es:

 

donde   c = d(O,F).

Gráficamente estos elementos puede verse en la siguiente figura:

La ecuación de una hipérbola cuyo centro es el origen y los ejes están sobre los ejes de coordenadas viene dada por:

Si el centro no es el origen de coordenadas  (x₀,y₀)  pero los ejes son paralelos a los ejes de coordenadas, la ecuación corresponde a:

Elipse. Hipérbole. Parábola.

Elipse

Es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es un valor constante

Si llamamos F y F’ a los focos, un punto P de la elipse verifica que:

Los elementos de la elipse son:

·        El centro O que corresponde al punto medio de los dos focos.

·        El semieje mayor de la elipse corresponde al segmento que une el centro O y el punto A. Este punto A está sobre la semirrecta que parte del centro O y pasa por F. La distancia de A a O es   a = cte/2.

·        El semieje menor de la elipse corresponde al segmento que une el centro O y el punto B. Este punto B está sobre la semirrecta que parte del centro O y es perpendicular al semieje mayor. La distancia de B a O es

 

donde  c = d(O,F).

Gráficamente estos elementos puede verse en la siguiente figura:

La ecuación de una elipse cuyo centro es el origen y los semiejes están sobre los ejes de coordenadas viene dada por:

Si el centro no es el origen de coordenadas, sino un punto  pero los semiejes son paralelos a los ejes de coordenadas, la ecuación corresponde a:

Circunferencia

Circunferencia

Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. La distancia de cualquier punto de la circunferencia al centro se le llama radio. Centro y radio son los elementos principales que definen toda circunferencia.

La ecuacion general de una circunferencia viene dada por:

donde  (a,b) es el centro y  r > 0 es el radio.

De manera similar a la recta, la representación gráfica se lleva a cabo mediante la representación del centro y la consideración de una cuerda de longitud el radio y donde un extremo se coloca en el centro y el otro va definiendo, mediante un giro de una vuelta de 360º, todos los puntos de la circunferencia.

Ejemplo

Obtener y representar gráficamente la circunferencia de centro (6, -5) y radio 3.

Solución:

Sustituyendo los valores correspondientes en la ecuación:

se obtiene su expresión: 

,

y su representación gráfica: